Question

如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA^ CD，PA＝1，PD＝，E為PD上一點，PE＝2ED．

(Ⅰ)求證：PA^ 平面ABCD；

(Ⅱ)求二面角D－AC－E的余弦值；

(Ⅲ)在側棱PC上是否存在一點F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F點的位置，并證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)PA＝PD＝1，PD＝2，PA²＋AD²＝PD²，即：PA^ AD　2分

　　又PA^ CD，AD，CD相交于點D，PA^ 平面ABCD　4分

　　(Ⅱ)過E作EG//PA交AD于G，從而EG^ 平面ABCD，且AG＝2GD，

　　EG＝PA＝，　5分連接BD交AC于O，過G作GH//OD，交AC于H，

　　連接EH．GH^ AC，EH^ AC，Ð EHG為二面角D－AC―E的平面角．　6分

　　tanÐ EHG＝．二面角D－AC―E的平面角的余弦值為　8分

　　(Ⅲ)以AB，AD，PA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，E(0，，)，＝(1，1，0)，＝(0，，)－－－9分設平面AEC的法向量＝(x，y，z)，則，

　　即：，令y＝1，則＝(－1，1，－2)　10分

　　假設側棱PC上存在一點F，且＝，(0£ £ 1)，使得：BF//平面AEC，則× ＝0．又因為：＝＋＝(0，1，0)＋(－，－，)＝(－，1－，)，× ＝＋1－－2＝0，＝，所以存在PC的中點F，使得BF//平面AEC　12分