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如圖所示,AB是⊙O的直徑,點C是⊙O圓周上不同于A、B的任意一點,PA⊥平面ABC,點E是線段PB的中點,點M在上,且MO∥AC.

(1)求證:BC⊥平面PAC;

(2)求證:平面EOM∥平面PAC.

考點:

直線與平面垂直的判定;平面與平面平行的判定.

專題:

計算題;空間位置關系與距離.

分析:

(1)由PA⊥平面ABC,證出PA⊥BC,由直徑所對的圓周角證出BC⊥AC,再利用線面垂直判定定理,即可證出BC⊥平面PAC.

(2)根據三角形中位線定理證出EO∥PA,從而得到EO∥平面PAC,由MO∥AC證出MO∥平面PAC,再結合面面平行判定定理即可證出平面EOM∥平面PAC.

解答:

解:(1)∵點C是以AB為直徑的⊙O圓周上不同于A、B的任意一點,

∴∠ACB=90°,即BC⊥AC.

∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,

∴PA⊥BC.

∵AC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,AC∩PA=A,

∴BC⊥平面PAC.

(2)∵點E是線段PB的中點,點O是線段AB的中點,

∴EO∥PA.

∵PA⊂平面PAC,EO⊄平面PAC,∴EO∥平面PAC.

∵MO∥AC,AC⊂平面PAC,MO⊄平面PAC,

∴MO∥平面PAC.

∵EO⊂平面EOM,MO⊂平面EOM,EO∩MO=O,

∴平面EOM∥平面PAC.

點評:

本題給出特殊錐體,求證線面垂直并證明面面平行,著重考查直線與平面垂直的判定、平面與平面平行的判定定理等知識,考查空間想象能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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如圖所示,AB是⊙O的直徑,點C是⊙O圓周上不同于A、B的任意一點,PA⊥平面ABC,點E是線段PB的中點,點M在
AB
上,且MO∥AC.
(1)求證:BC⊥平面PAC;
(2)求證:平面EOM∥平面PAC.

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cm
21
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24
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3
3
;AD的長為
24
5
24
5

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同步練習冊答案
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