Question

已知函數，且數列{f（a_n）}是首項為2，公差為2的等差數列．
（1）求證：數列{a_n}是等比數列；
（2）設b_n=a_n•f（a_n），求數列{b_n}的前n項和S_n的最小值..

Answer 1

（1）證明：∵函數，且數列{f（a_n）}是首項為2，公差為2的等差數列．
∴=2+（n-1）×2=2n
∴
∵
∴數列{a_n}是等比數列；（7分）
（2）解：由（1）知，．…（8分）
∴，①
②…（10分）
②-①，得=
∴…（12分）
∵S_n+1-S_n=（n+1）×2ⁿ⁺²＞0
∴{S_n}是遞增數列，所以S_n的最小值等于S₁=4…（14分）
分析：（1）根據函數，且數列{f（a_n）}是首項為2，公差為2的等差數列，可得，從而可得數列{a_n}是等比數列；
（2）寫出通項，利用錯位相減法求和，確定其單調性，即可求得數列{b_n}的前n項和S_n的最小值．
點評：本題考查等比數列的證明，考查錯位相減法求數列的和，考查單調性，解題的關鍵是確定數列的通項，屬于中檔題．