Question

12．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足bcosC+$\sqrt{3}$bsinC=a+c．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若b=$\sqrt{3}$，求2a-c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理以及兩角和與差的三角函數，化簡求解角B；
（Ⅱ）利用余弦定理以及正弦定理結合兩角和與差的三角函數化簡求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$bcosC+\sqrt{3}bsinC=a+c$，
∴$sinBcosC+\sqrt{3}sinBsinC=sinA+sinC$．
∵A+B+C=π，∴sinA=sin（B+C）．
∴$sinBcosC+\sqrt{3}sinBsinC=sin（B+C）+sinC$．
化簡，得$sinC（\sqrt{3}sinB-cosB-1）=0$．
又sinC＞0，∴$\sqrt{3}sinB-cosB-1=0$．∴$sin（B-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$．
又0＜B＜π，∴$B=\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）∵$B=\frac{π}{3}$，∴$A+C=\frac{2π}{3}$．
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}$，即a=2sinA，c=2sinC．
所以$2a-c=4sinA-2sinC=4sinA-2sin（\frac{2π}{3}-A）$=$3sinA-\sqrt{3}cosA=2\sqrt{3}（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinA-\frac{1}{2}cosA）$=$2\sqrt{3}sin（A-\frac{π}{6}）$．∵$0＜A＜\frac{2π}{3}$，∴$-\frac{π}{6}＜A-\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$．∴$-\frac{1}{2}＜sin（A-\frac{π}{6}）＜1$，$-\sqrt{3}＜2\sqrt{3}sin（A-\frac{π}{6}）＜2\sqrt{3}$．
所以2a-c的取值范圍為$（-\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$．…（12分）

點評 本題考查正弦定理以及余弦定理的應用，兩角和與差的三角函數的應用，考查計算能力．