Question

{a_n}是首項a₁=4的等比數列，其前n項和為S_n，且S₃，S₂，S₄成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=log₂|a_n|（n≥1，n∈N），設T_n為數列的前n項和，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知結合等比數列的求和公式，分q=1和q≠1兩種情況進行求解；
（2）先寫出b_n的表達式，進而求出的表達式，觀察其結構，可利用裂項法求出其前n項和T_n，最后利用不等式的性質求解即可．
解答：解：設數列{a_n}的公比為q，
（1）若q=1，則S₃=12，S₂=8，S₄=16
顯然S₃，S₂，S₄不成等差數列，與題設條件矛盾，所以q≠1，（1分）
由S₃，S₂，S₄成等差數列，得，
化簡得q²+q-2=0，∴q=-2，或q=1（舍去）（4分）
∴a_n=4（-2）^n-1=（-2）ⁿ⁺¹（5分）
（2）b_n=log₂|a_n|=log₂|（-2）ⁿ⁺¹|=n+1（6分）
當n≥2時，（10分）

=1+（12分）
點評：本題主要考查等比數列知識的應用和數列求和的方法，也考查了不等式的知識，考查了學生的推理論證能力．