Question

已知函f（x）=x²-8lnx，g（x）=-x²+14x
（1）求函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數f（x）與g（x）在區間（a，a+1）上均為增函數，求a的取值范圍；
（3）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，試求實數m的值．

Answer 1

分析：（1）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）由已知中函數f（x）=x²-8lnx，g（x）=-x²+14x的解析式，我們易求出他們導函數的解析式，進而求出導函數大于0的區間，構造關于a的不等式，即可得到實數a的取值范圍；
（3）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，則函數h（x）=f（x）-g（x）=2x²-8lnx-14x與y=m的圖象有且只有一個交點，求出h'（x）后，易求出函數的最值，分析函數的性質后，即可得到滿足條件的實數m的值．

解答：解：（1）因為f′（x）=2x-

8

x

，所以切線的斜率k=f′（x）=-6
又f（1）=1，故所求切線方程為y-1=-6（x-1）即y=-6x+7．
（2）f′(x)=2x-

8

x

=

2(x+2)(x-2)

x

（x＞0）
當0＜x＜2時，f'（x）＜0，當x＞2時，f'（x）＞0，
要使f（x）在（a，a+1）上遞增，必須a≥2g（x）=-x²+14x=-（x-7）²+49
如使g（x）在（a，a+1）上遞增，必須a+1≤7，即a≤6
由上得出，當2≤a≤6時f（x），g（x）在（a，a+1）上均為增函數
（3）方程f（x）=g（x）+m有唯一解 ?

y=m y=2x2-8lnx-14x

有唯一解
設h（x）=2x²-8lnx-14x
h′(x)=4x-

8

x

-14=

2

x

(2x+1)(x-4)（x＞0）h'（x），h（x）隨x變化如下表

x	（0，4）	4	（4，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	↘	極小值-24-16ln2	↗

由于在（0，+∞）上，h（x）只有一個極小值，
∴h（x）的最小值為-24-16ln2，
當m=-24-16ln2時，方程f（x）=g（x）+m有唯一解．

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，利用函數研究函數的極值，其中根據已知函數的解析式，求出函數的導函數是解答此類問題的關鍵．