Question

在直角坐標系xOy中，橢圓C₁：=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂、F₂也是拋物線C₂: y²=4x的焦點，點M為C₁與C₂在第一象限的交點，且｜MF₂｜=.

（Ⅰ）求C₁的方程；

（Ⅱ）平面上的點N滿足，直線l∥MN，且與C₁交于A、B兩點，若=0，求直線l的方程.

Answer 1

解：（Ⅰ）由知。

         設，在上，因為，所以，

         得，。

         在上，且橢圓的半焦距，于是

         ，消去并整理得，

         解得（不合題意，舍去）。

         故橢圓的方程為。

（Ⅱ）由知四邊形是平行四邊形，其中心為坐標原點O。

         因為，所以與的斜率相同。

         故的斜率，

         設的方程為，

         由消去并化簡得，

         設，，

         ，。

         因為，所以，

        

                             

                             

                             

         所以，

         此時，

         故所求直線的方程為或。