Question

15、用數學歸納法證明：x^2n-1-y^2n-1能被x-y整除．（n∈N^*）

Answer 1

分析：用數學歸納法證明整除問題時分為兩個步驟，第一步，先證明當當n=1時，結論顯然成立，第二步，先假設假設當n=k時結論成立，利用此假設結合因式分解，證明當n=k+1時，結論也成立即可．

解答：證：①當n=1時，結論顯然成立．
②假設當n=k時結論成立，即x^2k-1-y^2k-1能被x-y整除
則當n=k+1時，
x^2k+1-y^2k+1=x²x^2k-1-y²y^2k-1
=x²x^2k-1-x²y^2k-1+x²y^2k-1-y²y^2k-1
=x²（x^2k-1-y^2k-1）+（x²-y²）y^2k-1
∴x^2k+1-y^2k+1也能被x-y整除
故當n=k+1時結論也成立．
由①、②可知，對于任意的n∈N*，x^2n-1-y^2n-1能被x-y整除．

點評：本題主要考查數學歸納法，數學歸納法的基本形式
設P（n）是關于自然數n的命題，若1°P（n₀）成立（奠基）
2°假設P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n₀的自然數n都成立