Question

一分組數列如下表
第一行                              1
第二行                          2       4
第三行                     2        3        4
第四行                 8       16       32       64
第五行             5        6       7        8       9
第六行         128     256     512     1024     2048    4096
現用a_i，j表示第i行的第j個數．
（1）求a_2n+1，a_2n-1，1；
（2）8192為第幾行的第幾個數？

Answer 1

分析：（1）由表可知，其奇數行是數列{n}的順次排列，偶數行是等比數列{2ⁿ}的順次排列．第2n行之前的偶數行共n-1行，第2m行共2m個數．由此能求出a_2n+1，a_2n-1，1；
（2）由8192在偶數行a_6，6=4096，知a_8，1=8192．由8192在奇數行a_2n-1，1=（n-1）²+1，8101=（91-1）²+1＜8192＜（92-1）²+1=8282，由此能求出8192可位于第8行第一個，也可位于181行，第92個數．

解答：解：（1）由表可知，其奇數行是數列{n}的順次排列，
偶數行是等比數列{2ⁿ}的順次排列．
第2n行之前的偶數行共n-1行，第2m行共2m個數．
∴前2n-2行共

(n-1)•2n

2

=n(n-1)個，
∴a_2n，1=2^n（n-1）+1
同理a2n-1，1=

(n-1)(2n-2)

2

+1=n2-2n+2
（2）若8192在偶數行a_6，6=4096∴a_8，1=8192．
另若8192在奇數行a_2n-1，1=（n-1）²+1，
8101=（91-1）²+1＜8192＜（92-1）²+1=8282
∴8192位于第181行，a_181，1=8101∴是第92個
∴8192可位于第8行第一個，也可位于181行，第92個數

點評：本題考查數列的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．