Question

為了解某校高三學生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學生的視力，按視力情況分成8組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，但不慎將部分數據丟失，只知道前6組的頻數從左到右依次是等比數列{a_n}的前六項，后3組的頻數從左到右依次是等差數列{b_n}的前三項．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設數列{c_n}滿足c_n=

35-bn

3an

，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）依題意可求得a₁，a₂，從而可求得等比數列{a_n}的公比，繼而可求得其通項公式，同理可求得b₁及其公差d，繼而可求得其通項公式；
（2）由于c_n=（3n-2）•(

1

2

)n-1，可列出S_n的表示式，利用錯位相減法求和即可．

解答：解：（1）由題意知：a₁=0.05×0.2×100=1，
a₂=0.1×0.2×100=2．
因此，數列{a_n}是一個首項為1，公比為2的等比數列，所以a_n=2^n-1．
b₁=a₆=32，b₁+b₂+b₃=100-（a₁+a₂+…+a₅）=69，
所以3b₁+

3×2

2

d=69，解得d=-9，
因此，數列{b_n}是一個首項為32，公差為-9的等差數列，
所以b_n=-9n+41．
（2）c_n=

35-(-9n+41)

3×2n-1

=

3n-2

2n-1

=（3n-2）•(

1

2

)n-1，則  
    S_n=1×(

1

2

)0+4×(

1

2

)1+7×(

1

2

)2+…+（3n-2）×(

1

2

)n-1       ①

1

2

S_n=1×(

1

2

)1+4×(

1

2

)2+7×(

1

2

)3+…+（3n-5）×(

1

2

)n-1+（3n-2）×(

1

2

)n②
故①-②得：

1

2

S_n=1+3×(

1

2

)1+3×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+3×(

1

2

)n-1-（3n-2）×(

1

2

)n
∴

1

2

S_n=1+3×

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-（3n-2）×(

1

2

)n=4-

3n+4

2n

，
∴S_n=8-

3n+4

2n-1

．

點評：本題考查數列求和，著重考查等差數列與等比數列的通項公式，錯位相減法求和，考查觀察、分析與運算能力，屬于難題．