Question

如圖，已知圓G：（x-2）²+y²=r²是橢圓的內接△ABC的內切圓，其中A為橢圓的左頂點，
（1）求圓G的半徑r；
（2）過點M（0，1）作圓G的兩條切線交橢圓于E，F兩點，證明：直線EF與圓G相切．

Answer 1

【答案】分析：（1）可取BC⊥X軸時來研究，則可設B（2+r，y），過圓心G作GD⊥AB于D，BC交長軸于H由即，再由點B（2+r，y）在橢圓上，建立關于r的方程求解．
（2）設過點M（0，1）與圓相切的直線方程為：y-1=kx，由圓心到直線的距離等于半徑求，與橢圓方程聯立，表示出E，F和坐標，從而得到EF所在的直線的方程，再探討圓心到直線的距離和半徑的關系．
解答：解：（1）設B（2+r，y），過圓心G作GD⊥AB于D，BC交長軸于H
由得，
即（1）
而點B（2+r，y）在橢圓上，（2）
由（1）、（2）式得15r²+8r-12=0，
解得或（舍去）
（2）設過點M（0，1）與圓相切的直線方程為：y-1=kx（3）
則，即32k²+36k+5=0（4）
解得
將（3）代入得（16k²+1）x²+32kx=0，
則異于零的解為
設F（x₁，k₁x₁+1），E（x₂，k₂x₂+1），
則
則直線FE的斜率為：
于是直線FE的方程為：
即
則圓心（2，0）到直線FE的距離
故結論成立．
點評：本題主要是通過圓和橢圓來考查直線和圓，直線和橢圓的位置關系．