Question

（本小題滿分12分）
已知點是圓上任意一點，點與點關于原點對稱．線段的中垂線分別與交于兩點．
（1）求點的軌跡的方程；
（2）斜率為1的直線與曲線交于兩點,若（為坐標原點），求直線的方程．

Answer 1

（1）；（2）

本試題主要是考查了直線與圓的位置關系的運用，以及點的對稱問題，和中垂線性質的運用，以及直線與二次曲線的交點問題的綜合運用。
（1）因為點是圓上任意一點，點與點關于
原點對稱．線段的中垂線分別與交于兩點．利用定義法得到軌跡方程。
（2）設直線的方程為,由 ，聯立方程組，結合韋達定理得到根與系數的關系，進一步結合向量的數量積為零得到結論。
解：（1）由題意得，圓的半徑為，且   … 1分
從而  …………………………… 3分
∴ 點M的軌跡是以為焦點的橢圓,    ………………………………………… 5分
其中長軸,得到,焦距，則短半軸
橢圓方程為:      ………………………………………………………… 6分
（2）設直線的方程為,由 
可得 …………………………………………………………… 8分
則,即    ①      …………………………………9分
設,則
由可得,即  …………………10分
整理可得     
化簡可得,滿足①式，故直線的方程為：  …………………12分