Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，a∈R
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）對(duì)于曲線(xiàn)上的不同兩點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），如果存在曲線(xiàn)上的點(diǎn)Q（x，y），且x₁＜x＜x₂，使得曲線(xiàn)在點(diǎn)Q處的切線(xiàn)?∥P₁P₂，則稱(chēng)?為弦P₁P₂的伴隨切線(xiàn)．特別地，當(dāng)x=λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1）時(shí)，又稱(chēng)?為P₁P₂的λ-伴隨切線(xiàn)．
（ⅰ）求證：曲線(xiàn)y=f（x）的任意一條弦均有伴隨切線(xiàn)，并且伴隨切線(xiàn)是唯一的；
（ⅱ）是否存在曲線(xiàn)C，使得曲線(xiàn)C的任意一條弦均有伴隨切線(xiàn)？若存在，給出一條這樣的曲線(xiàn)，并證明你的結(jié)論；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求f（x）的導(dǎo)數(shù)，再對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論，利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)值的正負(fù)情況研究原函數(shù)的極值；
（Ⅱ）設(shè)P₁（x₁，f（x₁）），P₂（x₂，f（x₂））是曲線(xiàn)y=f（x）上的任意兩點(diǎn)，要證明P₁，P₂有伴隨切線(xiàn)，只需證明存在點(diǎn)Q（x，f（x）），x₁＜x＜x₂，使得，且點(diǎn)Q不在P₁P₂上．
解答：解：（Ⅰ）（2分）
當(dāng)a≥0（0，+∞），f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在內(nèi)是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）沒(méi)有極值．（3分）
當(dāng)a＜0時(shí)，令f'（x）=0，得．
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）與f（x）變化情況如下表：

∴當(dāng)時(shí)，f（x）取得極大值．
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）沒(méi)有極值；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的極大值為，沒(méi)有極小值．（5分）

（Ⅱ）（ⅰ）設(shè)P₁（x₁，f（x₁）），P₂（x₂，f（x₂））是曲線(xiàn)y=f（x）上的任意兩點(diǎn)，
要證明P₁，P₂有伴隨切線(xiàn)，只需證明存在點(diǎn)Q（x，f（x）），x₁＜x＜x₂，
使得，且點(diǎn)Q不在P₁P₂上．（7分）
∵，即證存在x∈（x₁，x₂），使得，
即xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂=0成立，且點(diǎn)Q不在P₁P₂上．（8分）
以下證明方程xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂=0在（x₁，x₂）內(nèi)有解．
設(shè)F（x）=xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂，0＜x＜x₂．
則F（x₁）=x₁lnx₂-x₁lnx₁+x₁-x₂．
記g（x）=xlnx₂-xlnx+x-x₂，0＜x＜x₂，
∴g'（x）=lnx₂-lnx＞0，
∴g（x）在（0，x₂）內(nèi)是增函數(shù)，
∴F（x₁）=g（x₁）＜g（x₂）=0．（9分）
同理F（x₂）＞0．∴F（x₁）F（x₂）＜0．
∴方程xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂=0在（x₁，x₂）內(nèi)有解x=x．（10分）
又對(duì)于函數(shù)g（x）=xlnx₂-xlnx+x-x₂，
∵0＜x₁＜x＜x₂，∴g（x）=xlnx₂-xlnx+x-x₂＜g（x₂）=0，
可知，即點(diǎn)Q不在P₁P₂上．
又F（x）=（lnx₂-lnx₁）x+x₁-x₂在（x₁，x₂）內(nèi)是增函數(shù)，
∴方程xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂=0在（x₁，x₂）內(nèi)有唯一解．
綜上，曲線(xiàn)y=f（x）上任意一條弦均有伴隨切線(xiàn)，并且伴隨切線(xiàn)是唯一的．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，是一道創(chuàng)新型題，屬于難度系數(shù)較大的題目．近幾年的高考命題，由知識(shí)立意向能力立意轉(zhuǎn)化，強(qiáng)化創(chuàng)新意識(shí)的考查，設(shè)計(jì)了一些“對(duì)新穎的信息、情景和設(shè)問(wèn)，選擇有效的方法和手段收集信息，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法，進(jìn)行獨(dú)立思考、探索和研究，提出解決問(wèn)題的思路，創(chuàng)造性的解決問(wèn)題”的創(chuàng)新題．