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已知函數f(x)=x3-3ax2+3x+1.
(1)若f(x)在實數集R上單調遞增,求實數a的取值范圍;
(2)設f(x)在區間(2,3)中至少有一個極值點,求實數a的取值范圍.
分析:(1)依題意,f'(x)=3x2-6ax+3≥0恒成立,從而由∴△=36(a2-1)≤0,即可求得實數a的取值范圍;
(2)由于f'(x)=3[(x-a)2+1-a2],對 1-a2分 1-a2≥0與1-a2<0討論,當1-a2<0時,令f'(x)=0,可得f(x)的兩個極值點,結合題意即可求得實數a的取值范圍.
解答:解:(1)因為f(x)在實數集R上單調遞增,
∴f'(x)=3x2-6ax+3≥0恒成立
∴△=36(a2-1)≤0,解得:-1≤a≤1(5分)
(2)f'(x)=3(x2-2ax+1)=3[(x-a)2+1-a2]
當 1-a2≥0時,f'(x)≥0,f(x)在R上無極值點,(7分)
當 1-a2<0時,|a|>1,令f'(x)=0,易得f(x)有兩個極值點x1=a-
a2-1
x2=a+
a2-1
(8分)
因為f(x)在區間(2,3)中至少有一個極值點,
所以,2<a-
a2-1
<3或2<a+
a2-1
<3
 (10 分)
不等式 2<a-
a2-1
=
1
a+
a2-1
<3,無解,
解不等式 2<a+
a2-1
<3
得  
5
4
<a<
5
3

所以,a的取值范圍是(
5
4
5
3
)
(12分)
點評:本題考查利用導數研究函數的單調性,著重考查函數在某點取得極值的條件,考查分類討論與化歸思想,屬于難題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數,且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數t的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數學 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數,且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數t的取值范圍.

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