Question

已知函數f（x）=x³-3ax²+3x+1．
（1）若f（x）在實數集R上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（2）設f（x）在區間（2，3）中至少有一個極值點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意，f'（x）=3x²-6ax+3≥0恒成立，從而由∴△=36（a²-1）≤0，即可求得實數a的取值范圍；
（2）由于f'（x）=3[（x-a）²+1-a²]，對 1-a²分 1-a²≥0與1-a²＜0討論，當1-a²＜0時，令f'（x）=0，可得f（x）的兩個極值點，結合題意即可求得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）因為f（x）在實數集R上單調遞增，
∴f'（x）=3x²-6ax+3≥0恒成立
∴△=36（a²-1）≤0，解得：-1≤a≤1（5分）
（2）f'（x）=3（x²-2ax+1）=3[（x-a）²+1-a²]
當 1-a²≥0時，f'（x）≥0，f（x）在R上無極值點，（7分）
當 1-a²＜0時，|a|＞1，令f'（x）=0，易得f（x）有兩個極值點x1=a-

a2-1

，x2=a+

a2-1

（8分）
因為f（x）在區間（2，3）中至少有一個極值點，
所以，2＜a-

a2-1

＜3或2＜a+

a2-1

＜3 （10 分）
不等式 2＜a-

a2-1

=

1

a+ a2-1

＜3，無解，
解不等式 2＜a+

a2-1

＜3得  

5

4

＜a＜

5

3

．
所以，a的取值范圍是(

5

4

，

5

3

)（12分）

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，著重考查函數在某點取得極值的條件，考查分類討論與化歸思想，屬于難題．