Question

面積為S的△ABC的三邊a，b，c成等差數列，∠B=60°，b=4，設△ABC外接圓的面積為S′，則S′：S=

4 3

9

π

．

Answer 1

分析：由a，b，c成等差數列，利用等差數列的性質列出關系式，把b的值代入求出a+c的值，利用余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，將b和cosB的值代入，并利用完全平方公式變形后，把a+c的值代入求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形的面積公式求出三角形ABC的面積S，由b和sinB的值，利用正弦定理求出三角形外接圓的半徑，利用圓的面積公式求出三角形ABC外接圓的面積S′，進而求出兩面積之比．

解答：解：∵△ABC的三邊a，b，c成等差數列，
∴2b=a+c，
將b=4代入得：a+c=8，
又cosB=

1

2

，
根據余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：
16=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=64-3ac，
∴ac=16，又∠B=60°，
∴△ABC的面積S=

1

2

acsinB=4

3

，
由正弦定理

b

sinB

=2R（R為三角形外接圓半徑）得：R=

b

2sinB

=

4 3

3

，
∴△ABC外接圓的面積為S′=πR²=

16π

3

，
則S′：S=

16

3

π：4

3

=

4 3

9

π．
故答案為：

4 3

9

π

點評：此題考查了等差數列的性質，三角形的面積公式，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．