Question

【題目】如圖所示的平面圖形中，ABCD是邊長為2的正方形，△HDA和△GDC都是以D為直角頂點的等腰直角三角形，點E是線段GC的中點．現將△HDA和△GDC分別沿著DA，DC翻折，直到點H和G重合為點P．連接PB，得如圖的四棱錐．

（Ⅰ）求證：PA//平面EBD；

（Ⅱ）求二面角大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）60o.

【解析】試題分析：（1）連接AC交BD于點O，連接EO，由EO為△CPA的中位線，能證明PA//平面EDB （2）分別求出平面PBD和PBC的法向量，利用向量法能求出二面角的大小

試題解析：

（Ⅰ）證明：連接AC交BD于點O，

連接EO，因為四邊形ABCD

是正方形，所以O為AC的中點，

又因為E為PC中點，

所以EO為△CPA的中位線，

所以EO//PA

因為EO平面EDB，PA平面EDB

所以PA//平面EDB

（Ⅱ）由題意有，

故DA，DC，DP兩兩垂直

如圖，以D為原點建立空間直角坐標系

有

由題知

又因為AC平面ABCD，所以，

又，，所以

所以平面PBD的法向量是

設平面PBC的法向量，

由于，

則有，所以

令，得

則

由圖可知求二面角的平面角為銳角，

所以二面角的大小為60o