Question

在學校的東南方有一塊如圖所示的地，其中兩面是不能動的圍墻，在邊界OAB內是不能動的一些體育設施．現準備在此建一棟教學樓，使樓的底面為一矩形，且靠圍墻的方向須留有5米寬的空地，問如何設計，才能使教學樓的面積最大？

Answer 1

分析：可建立如圖所示的平面直角坐標系根據截距式寫出AB所在直線方程x+y=20然后可設G點的坐標為（x，20-x）再根據題目中的要求可列出教學樓的面積的表達式y=-x²+6x+280  （0＜x＜20）然后利用一元二次函數求最值即可．

解答：解：如圖建立坐標系，可知AB所在直線方程為，即x+y=20．
設G（x，y），由y=20-x可知G（x，20-x）．
∵樓的底面為一矩形，且靠圍墻的方向須留有5米寬的空地
∴教學樓的寬為39-5-（20-x），教學樓的長為25-5-x
∴教學樓的面積y=（25-5-x）[39-5-（20-x）]=-x²+6x+280  （0＜x＜20）
∵對稱軸x=3∈（0，20）
∴當x=3時，S有最大值且最大值為-3²+6×3+280=289平方米．
故在線段AB上取點G（3，17），過點分別作墻的平行線，在離墻5米處確定矩形的另兩個頂點H、I，則第四個頂點K隨之確定，如此矩形地面的面積最大．

點評：本題主要考察利用一元二次函數求最值解決實際問題，較難．解題的關鍵是合理的建立坐標系將實際問題轉化為數學問題再利用合理的數學模型解題！