Question

12．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}+{log_4}x，x≥1\\{2^{-x}}-\frac{1}{4}，x＜1\end{array}$．
（Ⅰ）證明：f（x）≥$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）若f（x₀）=$\frac{3}{4}$，求x₀的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函數的解析式，通過x的范圍，分別求解函數的最小值即可證明f（x）≥$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）利用分段函數通過f（x₀）=$\frac{3}{4}$，列出方程求解求x₀的值．

解答 證明：（Ⅰ）當x＜1時，由于$f（x）={2^{-x}}-\frac{1}{4}$是減函數
∴$f（x）＞f（1）=\frac{1}{4}$…（3分）
當x≥1時，由于$f（x）=\frac{1}{4}+{log_4}x$是增函數，
∴$f（x）≥f（1）=\frac{1}{4}$…（6分）
∴$f（x）≥\frac{1}{4}$…（7分）
解：（Ⅱ）當x₀＜1時，由于$f（{x_0}）={2^{-{x_0}}}-\frac{1}{4}$，
∵$f（{x_0}）=\frac{3}{4}∴{x_0}=0$…（10分）
當x₀≥1時，由于$f（{x_0}）=\frac{1}{4}+{log_4}{x_0}$
∵$f（{x_0}）=\frac{3}{4}∴{x_0}=2$…（13分）
x₀=0或x₀=2…（14分）

點評 本題考查分段函數的應用，分類討論思想的應用，考查分析問題解決問題的能力．