Question

已知函數(shù)?（x）=log₂（1+x）-log₂（1-x），
（1）求函數(shù)?（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)?（x）的奇偶性并證明；
（3）解關(guān)于x的不等式?（x）＞log₂3．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)的解析式可得

1+x＞0 1-x＞0

，由此求得函數(shù)的定義域．
（2）由（1）可得函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱．再根據(jù)f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（3）關(guān)于x的不等式?（x）＞log₂3，即 log₂

1+x

1-x

＞log₂ ，化簡可得（4x-2）（x-1）＜0，由此求得不等式的解集．

解答：解：（1）由函數(shù)?（x）=log₂（1+x）-log₂（1-x），可得

1+x＞0 1-x＞0

，-1＜x＜1，故函數(shù)的定義域為（-1，1），
（2）由（1）可得函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱．再根據(jù)f（-x）=log₂（1-x）-log₂（1+x）=-[log₂（1+x）-log₂（1-x]）=-f（x），
可得函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（3）關(guān)于x的不等式?（x）＞log₂3，即 log₂

1+x

1-x

＞log₂ ，∴

1+x

1-x

＞3，即

4x-2

x-1

＜0，即 （4x-2）（x-1）＜0．
解得 

1

2

＜x＜1，即不等式的解集為（

1

2

，1）．

點評：本題主要考查函數(shù)的定義域的求法，判斷函數(shù)的奇偶性，解對數(shù)不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．