Question

函數f（x）=sinx（1-2sin²

θ

2

）+cosxsinθ（0＜θ＜π）在x=π得最小值．
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c別是角A，B，C的對邊，已知α=1，b=

3

，f（A）=

3

2

，求角C．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的余弦函數公式化簡后，再利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，根據f（x）在x=π得最小值，即可確定出θ的值；
（Ⅱ）由第一問的f（x）解析式，以及f（A）=

3

2

，求出A的度數，進而得到sinA的值，再由a，b的值，利用正弦定理求出sinB的值，確定出B的度數，即可求出C的度數．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sinxcosθ+cosxsinθ=sin（x+θ），
∵f（x）在x=π得最小值，即f（π）=sin（π+θ）=-sinθ=-1，且0＜θ＜π，
∴θ=

π

2

；
（Ⅱ）根據第一問及f（A）=

3

2

得：f（A）=sin（A+

π

2

）=

3

2

，
∴A+

π

2

=

π

3

（不合題意，舍去）或A+

π

2

=

2π

3

，即A=

π

6

，
∵a=1，b=

3

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

bsinA

a

=

3 × 1 2

1

=

3

2

，
∴B=

π

3

或B=

2π

3

，
則C=

π

2

或

π

6

．

點評：此題考查了正弦定理，二倍角的余弦函數公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．