Question

已知函數．先把y=f（x）的圖象上所有點向左平移個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變）得到函數y=g（x）的圖象．
（1）寫出函數g（x）的解析式；
（2）已知，，求f（2α）的值；
（3）設g₁（x），g₂（x）是定義域為R的兩個函數，滿足g₂（x）=g₁（x+θ），其中θ是常數，且θ∈[0，π]．請設計一個函數y=g₁（x），給出一個相應的θ值，使得g（x）=g₁（x）•g₂（x）．并予以證明．

Answer 1

解：（1）g（x）=cos2x．…（2分）
（2）因為，，所以，
所以，…（4分），則，…（5分），則，…（6分）
所以．…（7分）
（3）令g₁（x）=cosx+sinx，，…（9分）
則g₁（x）•g₂（x）=（cosx+sinx）（-sinx+cosx）=cos²x-sin²x=cos2x…（10分）
（注：令，；，θ=π等相應給分．）（只構造不證明本小問不得分．）
分析：（1）根據三角函數的圖形變換，寫出f（x）的解析式；
（2）根據α的取值范圍求出sin2α，cos2α的值，再求f（2α）；
（3）構造g₁（x）=cosx+sinx，，直接代入驗證即可．
點評：本題考查了三角函數的圖象變換，二倍角公式，以及構造三角函數，綜合性比較強，屬于中檔題型．