Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的短軸長為2，離心率為．

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線l與橢圓E相切于點(diǎn)P（點(diǎn)P在第一象限內(nèi)），與圓相交于點(diǎn)A，B，且，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）直接根據(jù)短軸和離心率的值，求出，即可得橢圓的方程；

（2）由題意可設(shè)直線l的方程為，與橢圓聯(lián)立并消去y得，根據(jù)三角形相似可得，再利用點(diǎn)的坐標(biāo)標(biāo)可得的關(guān)系，從而得到直線的方程.

（1）設(shè)橢圓E的焦距為2c，

則，解得，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）由題意可設(shè)直線l的方程為，

與橢圓聯(lián)立并消去y得．

因?yàn)橹本�l與橢圓E相切，所以，整理得．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，．

設(shè)直線OP交圓于點(diǎn)C，D，則．

又因?yàn)?/span>，所以，得，

與聯(lián)立解得（正值舍去），（負(fù)值舍去）

所以直線l的方程為．