Question

定義點M到曲線C上每一點的距離的最小值稱為點M到曲線C的距離．那么平面內到定圓A的距離與它到定點B的距離相等的點的軌跡不可能是

1. A.
   直線
2. B.
   圓
3. C.
   橢圓
4. D.
   雙曲線的一支

Answer 1

A
分析：對點B分類討論，利用橢圓、雙曲線、圓的定義即可判斷出答案．
解答：對定點B分類討論：
①若點B在圓A內（不與圓心A重合），如圖所示：設點P是圓A上的任意一點，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點M，連接BM，則|AM|+|BM|=|AP|=R＞|AB|．
由橢圓的定義可知：點M的軌跡是以點A、B為焦點的橢圓．
②若點B在圓A外，如圖2所示：設點P是圓A上的任意一點，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點M，連接BM，則|BM|-|AM|=|AP|=R＜|AB|．
由雙曲線的定義可知：點M的軌跡是以點A、B為焦點的雙曲線的一支．
③若定點B與圓心A重合，如圖3所示：
設點P是圓A上的任意一點，取線段AP的中點M，則點M滿足條件，
因此點M的軌跡是以點A為圓心，以為半徑的圓．
④若點B在圓A上，則滿足條件的點是一個點B．
綜上可知：可以看到滿足條件的點M的軌跡可以是：橢圓、雙曲線的一支，圓，一個點，而不可能是一條直線．
故選A．
點評：熟練掌握利用橢圓、雙曲線、圓的定義、分類討論的思想方法是解題的關鍵．