Question

若橢圓

x2

36

+

y2

9

=1與直線l交于A、B兩點，P（4，2）是線段AB的中點，則直線l的方程為

x+2y-8=0

．

Answer 1

分析：利用“點差法”可求得直線AB的斜率，再利用點斜式即可求得直線l的方程．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（4，2）是線段AB的中點，
則x₁+x₂=8，y₁+y₂=4；
依題意，

x12 36 + y12 9 =1① x22 36 + y22 9 =1②

，
①-②得：

1

36

（x₁+x₂）（x₁-x₂）=

1

9

（y₁+y₂）（y₂-y₁），
由題意知，直線l的斜率存在，
∴k_AB=

y2-y1

x2-x1

=-

1

4

×

x2+x1

y2+y1

=-

1

2

，
∴直線l的方程為：y-2=-

1

2

（x-4），
整理得：x+2y-8=0．
故直線l的方程為x+2y-8=0．
故答案為：x+2y-8=0．

點評：本題考查橢圓的簡單性質與直線的點斜式方程，求直線l的斜率是關鍵，也是難點，著重考查點差法，屬于中檔題．