Question

對(duì)于數(shù)列，定義“變換”：將數(shù)列變換成數(shù)列，其中，且，這種“變換”記作.繼續(xù)對(duì)數(shù)列進(jìn)行“變換”，得到數(shù)列，…，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為時(shí)變換結(jié)束．

（Ⅰ）試問(wèn)和經(jīng)過(guò)不斷的“變換”能否結(jié)束？若能，請(qǐng)依次寫(xiě)出經(jīng)過(guò)“變換”得到的各數(shù)列；若不能，說(shuō)明理由；

（Ⅱ）求經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件；

（Ⅲ）證明：一定能經(jīng)過(guò)有限次“變換”后結(jié)束．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）解：數(shù)列不能結(jié)束，各數(shù)列依次為；；；；；；…．從而以下重復(fù)出現(xiàn)，不會(huì)出現(xiàn)所有項(xiàng)均為的情形．        ……2分

數(shù)列能結(jié)束，各數(shù)列依次為；；；．

                                              ……………3分

（Ⅱ）解：經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件是．……4分

若，則經(jīng)過(guò)一次“變換”就得到數(shù)列，從而結(jié)束．……5分

當(dāng)數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束時(shí)，先證命題“若數(shù)列為常數(shù)列，則為常數(shù)列”．

當(dāng)時(shí)，數(shù)列．

由數(shù)列為常數(shù)列得，解得，從而數(shù)列也為常數(shù)列．

其它情形同理，得證．

在數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”后結(jié)束時(shí)，得到數(shù)列(常數(shù)列)，由以上命題，它變換之前的數(shù)列也為常數(shù)列，可知數(shù)列也為常數(shù)列．          ………8分

所以，數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件是．

（Ⅲ）證明：先證明引理：“數(shù)列的最大項(xiàng)一定不大于數(shù)列的最大項(xiàng)，其中”．

證明：記數(shù)列中最大項(xiàng)為，則．

令，，其中．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601234543342979/SYS201205260126050115370390_DA.files/image029.png">，  所以，

故，證畢．                     ……………9分

現(xiàn)將數(shù)列分為兩類．

第一類是沒(méi)有為的項(xiàng)，或者為的項(xiàng)與最大項(xiàng)不相鄰（規(guī)定首項(xiàng)與末項(xiàng)相鄰），此時(shí)由引理可知，．      

第二類是含有為的項(xiàng)，且與最大項(xiàng)相鄰，此時(shí)．

下面證明第二類數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”，一定可以得到第一類數(shù)列．

不妨令數(shù)列的第一項(xiàng)為，第二項(xiàng)最大()．（其它情形同理）

① 當(dāng)數(shù)列中只有一項(xiàng)為時(shí)，

若()，則，此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類數(shù)列；

若，則；此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類數(shù)列；

若()，則，此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類數(shù)列；

若，則；；，

此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類數(shù)列．

② 當(dāng)數(shù)列中有兩項(xiàng)為時(shí)，若()，則，此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類數(shù)列；

若()，則，，此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類數(shù)列．

③ 當(dāng)數(shù)列中有三項(xiàng)為時(shí)，只能是，則，

，，此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類數(shù)列．

總之，第二類數(shù)列至多經(jīng)過(guò)次“變換”，就會(huì)得到第一類數(shù)列，即至多連續(xù)經(jīng)歷次“變換”，數(shù)列的最大項(xiàng)又開(kāi)始減少．

又因?yàn)楦鲾?shù)列的最大項(xiàng)是非負(fù)整數(shù)，

故經(jīng)過(guò)有限次“變換”后，數(shù)列的最大項(xiàng)一定會(huì)為，此時(shí)數(shù)列的各項(xiàng)均為，從而結(jié)束．                 ………………13分

【解析】略