Question

設f（x）=

1+ax

1-ax

且a≠1），函數y=g（x）的圖象與函數y=f（x）圖象關于直線x-y=0對稱．
（1）求函數y=g（x）的解析式及定義域；
（2）設關于x的方程loga

t

(x2-1)(7-x)

=g(x)在[2，6]上有實數解，求t的取值范圍；
（3）當a=e（e為自然對數的底數）時，證明：

n

k=2

g(k)＞

2-n-n2

2n•(n+1)

．

Answer 1

分析：（1）函數y=g（x）的圖象與函數y=f（x）圖象關于直線x-y=0對稱，說明函數y=g（x）與函數y=f（x）互為反函數．可以根據函數y=f（x）的表達式解出x=f^-1（y），再將xy互換，可得函數y=g（x）的解析式，根據真數大于0，得出其定義域；
（2）根據（1）的表達式，可以將原方程轉化為：

t

(x2-1)(7-x)

=

x+1

x-1

，在x∈[2，6]時有解．將此等式整理，得t=（x-1）²（7-x），利用求導數的方法，列表得出t關于x函數的單調性，從而得出t在x∈[2，6]時的值域，即可求出原方程有解時的t的取值范圍；
（3）結合（1）的表達式得，g（k）=ln

k+1

k-1

，利用對數的基本性質將不等式左邊合并化簡為ln

n(n+1)

2

，當n≥2時不等式的左邊恒大于0，而不難得出不等式的右邊為

(1-n)(2+n)

2n•(n+1)

≤0，在n≥2時恒成立．故原不等式成立．

解答：解：（1）由題意，得函數所以由f（x）=

1+ax

1-ax

解出x，得x=loga

y+1

y-1

所以函數y=g（x）=loga

x+1

x-1

（a＞0且a≠1）
由

x+1

x-1

＞0，得定義域為：（-∞，-1）（1，+∞）；
（2）原方程變為：loga

t

(x2-1)(7-x)

=loga

x+1

x-1

等價于：

t

(x2-1)(7-x)

=

x+1

x-1

，x∈[2，6]
整理，得t=（x-1）²（7-x），其中2≤x≤6
求導可得：t′（x）=-3x²+18x-15=-3（x-1）（x-5）
列表：

x	2	（2，5）	5	（5，6）	6
t′（x）	9	+	0	-	15
t（x）	5	增	極大值32	減	25

由表格得，當x=5時函數t（x）取最大值32，當x=2時，t（x）取最小值5
因為原方程在[2，6]上有實數解，所以t的取值范圍為：[5，32]；
（3）a=e，結合（1）得，g（k）=loge

k+1

k-1

=ln

k+1

k-1

所以

n

k=2

g(k)=ln

3

1

+ln

4

2

+ln

5

3

+…+ln

n-1

n-3

+ln

n

n-2

+ln

n+1

n-1

=ln(

3

1

×

4

2

×

5

3

…×

n-1

n-3

×

n

n-2

×

n+1

n-1

)=ln

n(n+1)

2

原不等式等價于：ln

n(n+1)

2

＞

2-n-n2

2n•(n+1)

先看左邊，在n≥2時ln

n(n+1)

2

≥ln3＞0
注意到右邊為

2-n-n2

2n•(n+1)

=

(1-n)(2+n)

2n•(n+1)

≤0，在n≥2時恒成立
所以左邊大于右邊，
故不等式

n

k=2

g(k)＞

2-n-n2

2n•(n+1)

成立

點評：本題考查了反函數的解析式的求法、函數與方程以及不等式的證明等知識點，屬于中檔題．解題過程中用到了導數討論函數的單調性和含有對數的不等式的處理，是一道綜合性較強的題．