Question

如圖，灌溉渠的橫截面是等腰梯形，底寬2米，邊坡的長為x米、傾角為銳角α．
（1）當且灌溉渠的橫截面面積大于8平方米時，求x的最小正整數值；
（2）當x=2時，試求灌溉渠的橫截面面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意可分別表示出梯形的高和上底長，進而可求得橫截面的面積的表達式，把代入S的解析式，利用二次函數的性質判斷其單調性，進而推斷x=2和x=3時S的值，求得x的最小正整數值．
（2）把x代入S的解析式中通過對S的函數進行求導，判斷S的單調性進而推斷出S的最大值．
解答：解：由已知得等腰梯形的高為xsinα，上底長為2+2xcosα，
從而橫截面面積S=（2+2+2xcosα）•xsinα=x²sinαcosα+2xsinα．
（1）當時，面積是（0，+∞）上的增函數，
當x=2時，S=3＜8；當x=3時，S=．
所以，灌溉渠的橫截面面積大于8平方米時，x的最小正整數值是3．
（2）當x=2時，S=4sinαcosα+4sinα，S'=4cos²α-4sin²α+4cosα
=4（2cos²α+cosα-1）=4（2cosα-1）•（cosα+1），
由S′=0及α是銳角，
得．當0＜α＜時，S′＞0，S是增函數；
當＜α＜時，S′＜0，S是減函數．所以，當α=時，S有最大值．
綜上所述，灌溉渠的橫截面面積的最大值是．
點評：本題主要考查了在實際問題中建立三角函數模型．考查了考生運用所學知識解決實際問題的能力．