Question

過曲線上一點與以此點為切點的切線垂直的直線，叫做曲線在該點的法線．
已知拋物線C的方程為y=ax²（a＞0，x≠0）．點M（x，y）是C上任意點，過點M作C的切線l，法線m．
（I）求法線m與拋物線C的另一個交點N的橫坐標x_N取值范圍；
（II）設點F是拋物線的焦點，連接FM，過點M作平行于y軸的直線n，設m與x軸的交點為S，n與x軸的交點為K，設l與x軸的交點為T，求證∠SMK=∠FMN

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）將直線m的方程與拋物線C的方程組成方程組，消去y得到關于x的方程，再根據根與系數的關系求得N點的橫坐標的表達式，最后根據函數的值域求出其范圍即可；
（Ⅱ）欲證∠SMK=∠FMN，即要證∠TMK=∠FMT，為了證角相等，只要證明直線n是∠FMK的平分線，故只要證明T到直線n和直線MF距離相等即可．
解答：解：（Ⅰ）易得直線m的方程：與y=ax²
聯立得，
∴，，
易得
即x_N取值范圍是；（6分）
（Ⅱ）由題意得l的方程y-y=2ax（x-x），令y=0得，∴
此時T到直線n的距離為，又MF方程：，
設T到MF距離為d，則，
∴∠TMK=∠FMT，∴∠SMK=∠FMN．（13分）
點評：本題主要考查了拋物線的標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等，突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．