Question

如圖，拋物線頂點在原點，圓x²+y²=4x的圓心是拋物線的焦點，直線l過拋物線的焦點，且斜率為2，直線l交拋物線與圓依次為A、B、C、D四點．

（1）求拋物線的方程．
（2）求|AB|+|CD|的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線頂點在原點，圓x²+y²=4x的圓心是拋物線的焦點，故先求咄圓心，再求拋物線的方程即可；
（2）由圖形可以看出|AB|+|CD|等于弦長AD減去圓的直徑，圓的直徑易得，弦長AD可由拋物線的性質轉化為求兩端點A，D到拋物線準線的距離的和，由此求出兩點橫坐標的和，再求弦長AD
解答：解：（1）由圓的方程x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4可知，圓心為F（2，0），
半徑為2，又由拋物線焦點為已知圓的圓心，得到拋物線焦點為F（2，0），
拋物線方程為y²=8x．
（2）|AB|+|CD|=|AD|-|BC|
∵|BC|為已知圓的直徑，∴|BC|=4，則|AB|+|CD|=|AD|-4．
設A（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），
∵|AD|=|AF|+|FD|，而A、D在拋物線上，
由已知可知，直線l方程為y=2（x-2），
由消去y，得x²-6x+4=0，
∴x₁+x₂=6．∴|AD|=6+4=10，
因此，|AB|+|CD|=10-4=6．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，解題的關鍵是熟練掌握拋物線的定義與性質，通過這些將求弦長的問題轉化為求點到線的距離問題，此轉化有一個標志即直線是過焦點的．本題運算量大，極易因為運算出錯．