Question

如圖，已知圓E：，點，P是圓E上任意一點．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．

（1）求動點Q的軌跡的方程；

（2）已知A，B，C是軌跡的三個動點，A與B關于原點對稱，且，問△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求出此時點C的坐標，若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

（1）；（2）存在最小值．點C的坐標為，，，

【解析】

試題分析：（1）連結QF，由于線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，所以|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，根據橢圓的定義知，動點Q的軌跡是以E，F為焦點，長軸長為4的橢圓．由此便可得其方程；（2）首先考慮直線AB的斜率為0或斜率不存在的情況，此時易得．當直線AB的斜率存在且不為0時，設斜率為k，則直線AB的直線方程為，將△ABC的面積用含k的式子表示出來，然后利用重要不等式求其最小值.

（1）連結QF，根據題意，|QP|＝|QF|，則|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，

故動點Q的軌跡是以E，F為焦點，長軸長為4的橢圓． 2分

設其方程為，可知，，則， 3分

所以點Q的軌跡的方程為為． 4分

（2）存在最小值． 5分

（ⅰ）當AB為長軸（或短軸）時，可知點C就是橢圓的上、下頂點（或左、右頂點），則． 6分

（ⅱ）方法一、當直線AB的斜率存在且不為0時，設斜率為k，則直線AB的直線方程為，設點，

聯立方程組消去y得，，

由，知△ABC是等腰三角形，O為AB的中點，則OC⊥AB，可知直線OC的方程為，同理可得點C的坐標滿足，，則，， 8分

則． 9分

由于，

所以，當且僅當，即時取等號．

綜合（ⅰ）（ⅱ），當時，△ABC的面積取最小值， 11分

此時，，即，，

所以點C的坐標為，，，． 13分

方法二、前同（ⅰ），記，則，所以，

故，

當，即時，有最大值，此時取得最小值．

綜合（ⅰ）（ⅱ），當時，△ABC的面積取得最小值． 11分

此時，，即，，

所以點C的坐標為，，，． 13分

方法三、設，，根據A，B兩點關于原點對稱，

則，所以，

由，知△ABC是等腰三角形，O為AB的中點，則OC⊥AB，，，

由， ①

且點C在橢圓上，則 ②

聯立①②，解得，，所以， 8分

所以， 9分

又，即，所以，

記，，，

則，當且僅當，即時等號成立，

綜合（ⅰ）（ⅱ），當時，有最小值． 11分

所以點C的坐標為，，，． 13分

考點：1、橢圓的方程；2、直線與橢圓的關系；3、最值問題.