Question

四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AD=，AB∥CD，∠ADC=90°．
（1）在側棱PC上是否存在一點Q，使BQ∥平面PAD？證明你的結論；
（2）求證：平面PBC⊥平面PCD；
（3）求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）當Q為側棱PC中點時，有BQ∥平面PAD．取PD的中點E，連AE、EQ．只需證明平面PAD外的直線BQ平行于平面PAD內的直線AE，即可．
（2）要證平面PBC⊥平面PCD，只需證明AE垂直平面PAD內的兩條相交直線CD、PD，BQ∥AE，BQ?平面PBC即可；
（3）法一，說明∠DPC就是平面PAD與平面PBC所成銳二面角的平面角，然后求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值．
法二：建立空間直角坐標系，求出平面PBC的法向量，平面PAD的法向量，利用向量的數量積求出平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值．
解答：（1）解：當Q為側棱PC中點時，有BQ∥平面PAD．
證明如下：如圖，取PD的中點E，連AE、EQ．
∵Q為PC中點，則EQ為△PCD的中位線，
∴EQ∥CD且．
∵AB∥CD且，∴EQ∥AB且EQ=AB，
∴四邊形ABQE為平行四邊形，則BQ∥AE．
∵BQ?平面PAD，AE?平面PAD，
∴BQ∥平面PAD．

（2）證：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE．
∵PA=AD，E為PD中點，∴AE⊥PD．
∵CD∩PD=D，∴AE⊥平面PCD．
∵BQ∥AE，∴BQ⊥平面PCD．
∵BQ?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD．（9分）

（3）解法一：設平面PAD∩平面PBC=l．
∵BQ∥平面PAD，BQ?平面PBC，∴BQ∥l．
∵BQ⊥平面PCD，∴l⊥平面PCD，∴l⊥PD，l⊥PC．
故∠DPC就是平面PAD與平面PBC所成銳二面角的平面角．（12分）
∵CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．
設，則，
，故．
∴平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值為．（14分）

解法二：如圖建立直角坐標系，設PA=AB=AD=1，CD=2，
則A（0，0，0），B（0，1，0），C（-1，2，0），P（0，0，1），
則，．
設平面PBC的法向量為，則
由，取．（11分）
由CD⊥平面PAD，AB∥CD，知AB⊥平面PAD，
∴平面PAD的法向量為．（12分）
設所求銳二面角的大小為θ，則．
∴所求銳二面角的余弦值為．（14分）
點評：本題主要考查四棱錐的有關知識，涉及線面、面面位置關系的判定與證明，還有二面角的計算．高考立體幾何綜合題大都以棱柱和棱錐為載體，綜合考查空間想象能力和分析、解決問題的能力．空間角的計算一般有傳統法和坐標向量法兩種基本方法，前者著重思維，后者重在向量的坐標運算，各有優點，解題時既要具體問題具體分析，又要考慮到考生本人對這兩種方法掌握的熟練程度而定．