Question

f（x）是定義在（-∞，3]上的減函數(shù)，不等式f（a²-sinx）≤f（a+1+cos²x）對一切x∈R均成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，將原不等式成立，轉化為“

a2-sinx≤3 a+1+cos2x≤3 a2-sinx≥a+1+cos2x

成立”，
然后轉化為“

a2≤3+sinx a≤2-cos2x a2-a- 9 4 ≥-(sinx- 1 2 )2

”利用最值法求解．

解答：解：由題意可得

a2-sinx≤3 a+1+cos2x≤3 a2-sinx≥a+1+cos2x

恒成立
即

a2≤3+sinx a≤2-cos2x a2-a- 9 4 ≥-(sinx- 1 2 )2

對x∈R恒成立．
故

a2≤2 a≤1 a2-a- 9 4 ≥-(sinx- 1 2 )max2

∴-

2

≤a≤

1- 10

2

．

點評：本題主要考查不等式恒成立問題，一般是利用函數(shù)的單調(diào)性，轉化為最值問題解決．