Question

已知等比數列{a_n}滿足a₂=2，且2a₃+a₄=a₅，a_n＞0．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=（-1）ⁿ3a_n+2n+1，數列{b_n}的前項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q，則

a1q=2 2a1q2+a1q3=a1q4

，解方程可求a₁，q結合等比數列的通項公式即可求解
（Ⅱ）由b_n=（-1）ⁿ3a_n+2n+1=-3•（-2）^n-1+2n+1，利用分組求和，結合等比與等差數列的求和公式即可求解

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q，則

a1q=2 2a1q2+a1q3=a1q4

…（2分）
整理得q²-q-2=0，即q=-1或q=2，
∵a_n＞0，
∴q=2．代入可得a₁=1
∴an=2n-1．…（6分）
（Ⅱ）∵b_n=（-1）ⁿ3a_n+2n+1=-3•（-2）^n-1+2n+1，…（9分）
∴T_n=-3[1-2+4-8+…+（-2）^n-1]+（3+5+…+2n+1）
=-3×

1-(-2)n

1+2

+n2+2n=（-2）ⁿ+n²++2n-1．…（12分）

點評：本題主要考查了等比數列的通項公式及求和公式的應用，分組求和方法的應用，屬于數列知識的簡單綜合