Question

使用計算器或計算機，用二分法求函數f(x)=x⁵-x³-5x²+5的無理零點（精確到0.01）.

Answer 1

解析:求函數的無理零點或求方程的無理根問題可以通過因式分解，發現其有理根，然后轉化為求另一函數的無理零點的問題，再利用二分法求其零點的近似值.

解：因為x⁵-x³-5x²+5=x³(x²-1)-5(x²-1)=(x+1)(x-1)(x³-5)，

    所以已知函數的零點是-1，1，，其中x=是它的一個無理零點.

    不妨設g(x)=x³-5，由于g(1)=-4＜0,g(2)=3＞0，可取區間［1,2］作為計算的初始區間，用二分法逐次計算，列表如下：

端點（中點）坐標	計算中點的函數值	取區間
g（1）＜0	g（2）＞0	［1，2］
x1==1.5	g（x1）=-1.625＜0	［1.5，2］
x2==1.75	g（x2）=0.359 4＞0	［1.5，1.75］
x3==1.625	g（x3）=-0.709 0＜0	［1.625，1.75］
x4==1.687 5	g（x4）=-0.194 6＜0	［1.687 5，1.75］
x5==1.718 8	g（x5）=0.077 4＞0	［1.687 5，1.718 8］
x6==1.703 2	g（x6）=-0.059 6＜0	［1.703 2，1.718 8］
x7==1.711	g（x7）=0.010＞0	［1.703 2，1.711］
x8==1.714 9	g（x8）=0.043 3＞0

    由上表計算可知，區間［1.703 2，1.711］的長度小于0.01，所以該區間的中點x₈≈1.71，即為函數f（x）=x³-5的一個無理零點近似值.