Question

（2010•成都模擬）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上任意一點到兩焦點距離之和為4，直線x+4=0為該橢圓的一條準線．
（I）求橢圓C的方程；
（II）設直線l：y=kx+2與橢圓C交于不同的兩點A、B，且

OA

•

OB

＞0（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設橢圓C的半焦距為c，由題意得

2a=4 a2 c =4

，由此能夠求出橢圓C的方程．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+2 x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²+16kx+4=0，由直線l：y=kx+2與橢圓C交于不同的兩點A、B，解得k2＞

1

4

，且有x1+x2=-

16k

4k2+3

，x1x2=

4

4k2+3

，

OA

•

OB

=(x1，y1)•(x2，y2)=

-12k2+16

4k2+3

＞0，解得k2＜

3

4

，由此能夠求出斜率k的取值范圍．

解答：解：（I）設橢圓C的半焦距為c，
由題意得

2a=4 a2 c =4

，解得a=2，b=

3

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立

y=kx+2 x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²+16kx+4=0，
∵直線l：y=kx+2與橢圓C交于不同的兩點A、B，
∴△=（16k）²-16（4k²+3）＞0，解得k2＞

1

4

，①
且有x1+x2=-

16k

4k2+3

，x1x2=

4

4k2+3

，
∴

OA

•

OB

=(x1，y1)•(x2，y2)=x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）
=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=

-12k2+16

4k2+3

＞0，
解得k2＜

3

4

，②
由①②得，

1

4

＜k2＜

4

3

，
解得-

2 3

3

＜k＜-

1

2

，或

1

2

＜k＜

2 3

3

，
∴斜率k的取值范圍是(-

2 3

3

，-

1

2

)∪(

1

2

，

2 3

3

)．

點評：本題考查橢圓方程的求法，求直線斜率k的取值范圍．解題時要認真審題，注意橢圓性質、韋達定理、不等式性質等知識點的靈活運用．