Question

四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=，∠ACB=90°．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角D-PC-A的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，知PA⊥BC，由此能夠證明BC⊥平面PAC．
（Ⅱ）法一：由∠BAD=120°，AB∥CD，知∠ADC=60°，由AD=CD=1，知△ADC為正三角形以A為原點，CD邊的中線所在直線為x軸，直線AB為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能夠求出二面角D-PC-A的平面角的余弦值．
法二：（三垂線法作二面角的平面角）取AC中點M，則DM⊥AC，又PA⊥DM，所以DM⊥面PAC，從而DM⊥PC，作MN⊥PC于N，則PC⊥面DMN，所以∠DNM即為二面角D-PC-A的平面角，由此能求出二面角D-PC-A的平面角的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）證明：∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，
∴PA⊥BC，又AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，∠ACB=90°，
所以BC⊥AC，而AC∩PA=A，
所以BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）（方法一）∵∠BAD=120°，AB∥CD，
∴∠ADC=60°，又AD=CD=1，
∴△ADC為正三角形
以A為原點，CD邊的中線所在直線為x軸，直線AB為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標系如圖所示，
則，
由（1）取面PAC的法向量，
由于AB∥CD，知AB∥面PCD，
故可設面PCD的法向量，
則，
∴x=2，即，
∴，
所以，二面角D-PC-A的平面角的余弦值為．
（方法二：三垂線法作二面角的平面角）取AC中點M，
則DM⊥AC，又PA⊥DM，
所以DM⊥面PAC，從而DM⊥PC，
作MN⊥PC于N，則PC⊥面DMN，
所以∠DNM即為二面角D-PC-A的平面角，
由題設條件求得，，
所以=，
于是，
即二面角D-PC-A的平面角的余弦值為．
點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地選擇解題方法．