Question

已知函數f（x）=cos2x+sin2x
（1）求f（x）的最大值和最小正周期；
（2）設α，β∈[0，

π

2

]，f（

α

2

+

π

8

）=

5

2

，f（

β

2

+π）=

2

，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）函數解析式利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，由正弦函數的值域確定出函數f（x）的最大值，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數的最小正周期；
（2）由（1）化簡的f（x）解析式及已知的第一個等式，得到sinα的值，由α的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出cosα的值，再由已知的第二個等式，求出β的度數，代入所求式子中利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，把各自的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵f（x）=cos2x+sin2x=

2

（

2

2

cos2x+

2

2

sin2x）=

2

sin（2x+

π

4

），
∵-1≤sin（2x+

π

4

）≤1，
∴f（x）的最大值為

2

，
∵ω=2，
∴周期T=

2π

2

=π；
（2）∵f（

α

2

+

π

8

）=

2

sin[2（

α

2

+

π

8

）+

π

4

]=

2

sin（α+

π

2

）=

2

cosα=

5

2

，
∴cosα=

10

4

，
又α∈[0，

π

2

]，∴sinα=

1-cos2α

=

6

4

，
∵f（

β

2

+π）=

2

sin[2（

β

2

+π）+

π

4

]=

2

sin（β+

π

4

+2π）=

2

sin（β+

π

4

）=

2

，
∴sin（β+

π

4

）=1，
∵β∈[0，

π

2

]，∴β+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴β+

π

4

=

π

2

，即β=

π

4

，
則sin（α+β）=sin（α+

π

4

）=sinαcos

π

4

+cosαsin

π

4

=

3 + 5

4

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，正弦函數的定義域與值域，誘導公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式是解本題的關鍵．