Question

（2012•河北模擬）已知函數f（x）=x²+x-ln（x+a）+3b在x=0處取得極值0．
（1）求實數a，b的值；
（II）若關于x的方程f(x)=

5

2

x+m在區間[0，2]上恰有兩個不同的實數根，求實數m的取值范圍；
（III）證明：對任意的正整數n＞l，不等式1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

＞ln

n+1

2

都成立．

Answer 1

分析：（I）由已知函數求導得f′（x）根據在x=0處取得極值0列出方程即可解得a，b．
（II）由（I）知f（x）=x²+x-ln（1+x）．將方程f(x)=

5

2

x+m轉化x²+x-ln（1+x）-

5

2

x-m=0，令H（x）=x²+x-ln（1+x）-

5

2

x-m，再利用導數研究其單調性，從而求出m的取值范圍．
（III）由（I）知f（x）=x²+x-ln（1+x）的定義域為（-1，+∞），且f′（x）=

x(2x+3)

x+1

，利用導數與函數單調性的關系研究其單調性和最值得出x²+x≥ln（1+x），進而有對任意正整數n，取x=

1

n

，得到：

1

n-1

＞ln(n+1)-lnn，最后分別取n=2，3，…，n，得到n-1個不等關系，利用裂項求和法即可證得結論．

解答：解：（I）由已知得f′（x）=2x+1-

1

x+a

，
∵在x=0處取得極值0，∴f′（0）=0，
f′（0）=0，
解得：a=1，b=0．
（II）由（I）知f（x）=x²+x-ln（1+x）．
則方程f(x)=

5

2

x+m即x²+x-ln（1+x）-

5

2

x-m=0，
令H（x）=x²+x-ln（1+x）-

5

2

x-m，
則方程H（x）=0在區間[0，2]上恰有兩個不同的實數根，
∵H′（x）=2x-

1

x+1

-

3

2

=

(4x+5)(x-1)

2(x+1)

，
∴當x∈（0，1）時，H′（x）＜0，故H（x）在（0，1）上是減函數；
當x∈（1，2）時，H′（x）＞0，故H（x）在（1，2）上是增函數；
從而有：

H(0)=-m≥0 H(1)=- 1 2 -ln2-m＜0 H(2)=1-ln3-m≥0

，
∴-

1

2

-ln2＜m≤1-ln3．
（III）由（I）知f（x）=x²+x-ln（1+x）的定義域為（-1，+∞），
且f′（x）=

x(2x+3)

x+1

，
當x∈（-1，0）時，f′（x）＜0，故H（x）在（-1，0）上是減函數；
當x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0，故H（x）在（0，+∞）上是增函數；
∴f（0）為f（x）在（-1，+∞）上的最小值，
∴f（x）≥f（0）=0，
故x²+x≥ln（1+x），其中當x=0時等號成立，
對任意正整數n，取x=

1

n

，得

1

n2

+

1

n

＞ln(

1

n

+1)=ln(n+1)-lnn，
∴

1

n(n-1)

+

1

n

＞ln(n+1)-lnn，
從而有：

1

n-1

＞ln(n+1)-lnn，分別取n=2，3，…，n，得到：
1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

＞ln3-ln2+…+ln(n+1)-lnn=ln

n+1

2

故1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

＞ln

n+1

2

成立．

點評：本題考查利用導數研究函數的極值．解題時要認真審題，注意導數的合理運用，恰當地利用裂項求和法進行解題．