Question

給定雙曲線x2-

y2

2

=1，過點B（1，1）能否作直線l，使直線l與雙曲線交于P，Q兩點，且點B是線段PQ的中點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：先假設存在這樣的直線l，分類討論：斜率存在和斜率不存在設出直線l的方程，①當k存在時，與雙曲線方程聯立，消去y，得到關于x的一元二次方程，直線與雙曲線相交于兩個不同點，則△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，可求k的范圍，再由B是線段PQ的中點，則

x1+x 2

2

=1，可求k，看是否矛盾，②當k不存在時，直線經過點B但不滿足條件，故符合條件的直線l不存在，綜合可求

解答：解：設過點B（1，1）的直線方程為y=k（x-1）+1（當k存在時）或x=1（當k不存在時）．
（1）當k存在時，有

y=k(x-1)+1 x2- y2 2 =1

得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0 （1）
當直線與雙曲線相交于兩個不同點，則必有△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，
∴k＜

3

2

設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=

2(k-k 2)

2-k2

，又B（1，1）為線段PQ的中點
∴

x1+x 2

2

=1 即

2(k-k 2)

2-k2

=1
∴k=2
當k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此當k=2時，方程（1）無實數解
故過點B（1，1）與雙曲線交于兩點P、Q且B為線段PQ中點的直線不存在．
（2）當k不存在時，即當x=1時，直線經過點B，但不滿足條件，
綜上，符合條件的直線l不存在．

點評：本題考察了直線與雙曲線的位置關系，特別是相交時的中點弦問題，方程的根與系數關系的應用，及利用方程思想判斷直線與曲線位置關系