Question

已知橢圓C：的離心率為，右焦點為F（1，0）．
（I）求橢圓C的方程；
（II）求經過點A（4，0）且與橢圓C相切的直線方程；
（III）設P為橢圓C上一動點，以PF為直徑的動圓內切于一個定圓E．求定圓E的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用橢圓的離心率為，右焦點為F（1，0），求出a，c，利用b²=a²-c²，可求b的值，從而可求橢圓C的方程；
（II）設出經過點A（4，0）且與橢圓C相切的直線方程，代入橢圓方程，利用判別式為0，即可得到結論；
（III）利用橢圓的定義，可得以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓內切，從而可得結論．
解答：解：（I）∵橢圓的離心率為，右焦點為F（1，0）．
∴，c=1
∴a=2，b²=a²-c²=3
∴橢圓C的方程為；
（II）設經過點A（4，0）且與橢圓C相切的直線方程為y=k（x-4）
代入橢圓方程可得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0
∴△=（32k²）-4（3+4k²）（64k²-12）=0
∴
∴k=±
∴所求直線方程為y=（x-4）；
（III）利用橢圓的定義，可得以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓內切
設PF的中點為C，則OC==2-
∴以PF為直徑的動圓內切于一個定圓E，圓心為（0，0），半徑為半長軸長
∴定圓E的方程的方程為x²+y²=4．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查圓與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．