Question

如圖，已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的離心率e=，F(xiàn)₁、F₂分別為雙曲線C的上、下焦點，M為上準線與漸近線在第一象限的交點，且=-1．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）直線l交雙曲線C的漸近線l₁、l₂于P₁、P₂，交雙曲線于P、Q，且，求||的最小值．

Answer 1

解：（1）設(shè)F₁（0，c），F(xiàn)₂（0，c）則M（），由=-1，
得=a²-c²=-1；
∵，
∴，
所以雙曲線C的方程為：y²-x²=1．…（6分）
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+b，交雙曲線C的漸近線l₁、l₂于P₁（），P₂（）；
由可得P
因為P在雙曲線上，所以，
所以8b²=9（1-k²），
聯(lián)立得即（k²-1）x²+2kbx+b²-1=0…（10分）
∴==≥．
當且僅當k=0時取等號．
分析：（1）設(shè)出焦點坐標，利用=-1，結(jié)合離心率，求出a，c，b，即可求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)出直線l的方程，求出直線交雙曲線C的漸近線l₁、l₂于P₁、P₂，結(jié)合，通過P在雙曲線上，通過弦長公式求||的最小值．
點評：此題是難題．考查雙曲線的定義和簡單的幾何性質(zhì)，以及直線和橢圓相交中的有關(guān)中點弦的問題，綜合性強，特別是問題（2）的設(shè)問形式，增加了題目的難度，注意直線與圓錐曲線相交弦長的求法．體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想方法．