Question

△ABC中，角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，且a（cosB+cosC）=b+c．
（1）求證：A=

π

2

；
（2）若△ABC外接圓半徑為1，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據余弦定理求得cosB，和cosC代入題設等式中，整理得（b+c）（a²-b²-c²）=0進而求得a²=b²+c²．判斷出A=

π

2

．
（2）根據直角三角形外接圓的性質可求得a，進而求得b+c的表達式，進而根據B的范圍確定b+c的范圍，進而求得三角形周長的范圍．

解答：解：（1）證明：∵a（cosB+cosC）=b+c
∴由余弦定理得a•

a2+c2-b2

2ac

+a•

a2+b2-c2

2ab

=b+c．
∴整理得（b+c）（a²-b²-c²）=0．
∵b+c＞0，∴a²=b²+c²．故A=

π

2

．
（2）∵△ABC外接圓半徑為1，A=

π

2

，∴a=2．
∴b+c=2（sinB+cosB）=2

2

sin（B+

π

4

）．
∵0＜B＜

π

2

，∴

π

4

＜B+

π

4

＜

3π

4

，∴2＜b+c≤2

2

．
∴4＜a+b+c≤2+2

2

，
故△ABC周長的取值范圍是（4，2+2

2

]．

點評：本題主要考查了余弦定理的應用．解題的關鍵是利用余弦定理把關于角的問題轉化為關于邊的問題．