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已知函數f(x)=ax2-x+1(a>0)在(0,+∞)上只有一個零點,而函數g(x)=ax2+(b-2)x+b是偶函數,且函數f(x)在[a,2b]上的最大值為
1
1
分析:先根據函數的零點的意義求出a,再根據函數的奇偶性求出b,最后根據二次函數性質求出最值即可.
解答:解:∵函數f(x)=ax2-x+1(a>0)在(0,+∞)上只有一個零點
∴△=1-4a=0即a=
1
4

∵函數g(x)=ax2+(b-2)x+b是偶函數,
∴b=2
∴f(x)=
1
4
x2-x+1
而函數f(x)是開口向上的二次函數,對稱軸為x=2
則在[
1
4
,4]當x=4時取最大值1
故答案為:1.
點評:本題主要考查了函數的最值及其幾何意義、同時考查了函數的零點,分析問題的能力,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點的連線的斜率,否存在實數a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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(2009•海淀區二模)已知函數f(x)=a-2x的圖象過原點,則不等式f(x)>
34
的解集為
(-∞,-2)
(-∞,-2)

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2x
)>3

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(1)若a•b>0,判斷函數f(x)的單調性;
(2)若a=-3b,求f(x+1)>f(x)時的x的取值范圍.

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f(x)   ,  x>0
-f(x) ,    x<0
 給出下列命題:①F(x)=|f(x)|; ②函數F(x)是奇函數;③當a<0時,若mn<0,m+n>0,總有F(m)+F(n)<0成立,其中所有正確命題的序號是
 

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