Question

已知圓的方程和P點坐標，求經過P點的圓的切線方程．
（1）（x+2）²+（y-3）²=13，P（1，5）；
（2）x²+y²=9，P（3，4）．

Answer 1

分析：（1）先判斷點P在圓上，再求切線的斜率k代入點斜式，最后化為一般式；
（2）先判斷點P在已知的圓外，驗證切線的斜率不存在時是否成立；當斜率存在時利用圓心到切線的距離等于半徑，求出斜率再求切線方程．

解答：解：（1）由題意知點P在已知的圓上，
∵切線與圓心A（-2，3）和P（1，5）的連線垂直；
∴所求切線的斜率k=-

1

kAP

=-

1+2

5-3

=-

3

2

，代入點斜式得，y-5=-

3

2

（x-1），
即所求切線的方程為：3x+2y-13=0．

（2）由題意知點P在已知的圓外，分兩種情況；
①當切線的斜率不存在時，直線方程x=3，符合題意；
②當切線的斜率存在時，設切線方程為y-4=k（x-3），
由圓心（0，0）到切線的距離等于半徑得，3=

|-3k+4|

k2+1

，
解得，k=

7

24

，則切線方程為y-4=

7

24

（x-3），即7x-24y+75=0
故所求切線的方程為：x=3或7x-24y+75=0．

點評：本題考點是求過一點的圓的切線方程，應注意兩點：一是先判斷點與圓的位置關系，二是考慮切線的斜率是否存在問題；最后切線方程要化為一般式．