Question

給出下列四個命題：
①函數y=|x|與函數表示同一個函數；
②已知函數f（x+1）=x²，則f（e）=e²-1
③已知函數f（x）=4x²+kx+8在區間[5，20]上具有單調性，則實數k的取值范圍是（-∞，40]∪[160，+∞）
④已知f（x）、g（x）是定義在R上的兩個函數，對任意x、y∈R滿足關系式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•g（y），且f（0）=0，但x≠0時f（x）•g（x）≠0則函數f（x）、g（x）都是奇函數．
其中正確命題的個數是（ ）
A．1個
B．2個
C．3個
D．0個

Answer 1

【答案】分析：①由函數y=|x|和函數的定義域不同，知函數y=|x|與函數不是同一個函數；
②由函數f（x+1）=x²，設x+1=e，則x=e-1，知f（e）=（e-1）²；
③由函數f（x）=4x²+kx+8的對稱軸為x=-，在區間[5，20]上具有單調性，能推導出k≥40，或k≤160；
④分別判斷f（x），g（x）的奇偶性，即可判斷④的正誤．
解答：解：①∵函數y=|x|的定義域是R，
函數的定義域是{x|x≥0}，
∴函數y=|x|與函數不是同一個函數，故①錯誤；
②∵函數f（x+1）=x²，
設x+1=e，則x=e-1，
∴f（e）=（e-1）²，故②錯誤；
③∵函數f（x）=4x²+kx+8的對稱軸為x=-，
在區間[5，20]上具有單調性，
∴-≤5，或-，
解得k≥40，或k≤160，故③錯誤；
④令x=0，有f（-y）+f（y）=0，f（-y）=-f（y）函數f（x）是奇函數，
∵x≠0時，f（x）•g（x）≠0，
∴g（-y）==g（y），
∴函數g（x）是偶函數，故④錯誤．
故選D．
點評：考查抽象函數及其應用，解決抽象函數的問題一般應用賦值法，難點在于綜合考察函數的單調性，奇偶性，零點與最值，考察點跨度大，難度大，屬于難題．