Question

已知實數x，y滿足x²+y²+2x-2y=0．
（Ⅰ）求x-y的取值范圍；
（II）當實數a為何值時，不等式x²+y²-a≤0恒成立？

Answer 1

解：（Ⅰ）配方，得圓的標準方程（x+1）²+（y-）²=4 （1）
再令x-y=t （2）
則直線（2）與圓（1）有公共點（x，y），所以圓心C（-1，）到直線的距離為d=
∴-8≤t≤0，即x-y的取值范圍是[-8，0]．
（II）不等式x²+y²-a≤0恒成立，等價于a≥x²+y²恒成立，
由（Ⅰ）得x²+y²=-2（x-y）=-2t≤16，所以a≥16．
分析：（Ⅰ）配方得圓的標準方程，令x-y=t，則問題轉化為直線與圓有公共點，由此可求x-y的取值范圍；
（II）不等式x²+y²-a≤0恒成立，分離參數，可得a≥x²+y²恒成立，求出右邊的最大值，即可求得結論．
點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查恒成立問題，分離參數，求最值是關鍵．