Question

如圖，已知兩個正方形ABCD 和DCEF不在同一平面內，M，N分別為AB，DF的中點。（1）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角的正弦值；

（2）用反證法證明：直線ME 與 BN 是兩條異面直線

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   見解析）

解析:

設正方形ABCD，DCEF的邊長為2，以D為坐標原點，分別以射線DC，DF，DA為x,y,z軸正半軸建立空間直角坐標系如圖.

則M（1,0,2）,N(0,1,0),可得=(-1,1,2).                      

又=（0，0，2）為平面DCEF的法向量，

可得cos(,)=·                

所以MN與平面DCEF所成角的正弦值為

cos·  ……7分

(Ⅱ)假設直線ME與BN共面， ……9分

則AB平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN由已知，兩正方形不共面，故AB平面DCEF。又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，

所以AB//EN。又AB//CD//EF，所以EN//EF，這與EN∩EF=E矛盾，故假設不成立。

所以ME與BN不共面，它們是異面直線. …13分