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如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.
(I)證明:平面PQC⊥平面DCQ
(II)求二面角Q-BP-C的余弦值.

【答案】分析:首先根據題意以D為坐標原點,線段DA的長為單位長,射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系D-xyz;
(Ⅰ)根據坐標系,求出則、的坐標,由向量積的運算易得=0,=0;進而可得PQ⊥DQ,PQ⊥DC,由面面垂直的判定方法,可得證明;
(Ⅱ)依題意結合坐標系,可得B、、的坐標,進而求出平面的PBC的法向量與平面PBQ法向量,進而求出cos<,>,根據二面角與其法向量夾角的關系,可得答案.
解答:解:如圖,以D為坐標原點,線段DA的長為單位長,射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系D-xyz;
(Ⅰ)依題意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0);
=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0),
所以=0,=0;
即PQ⊥DQ,PQ⊥DC,
故PQ⊥平面DCQ,
又PQ?平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ;
(Ⅱ)依題意,有B(1,0,1),
=(1,0,0),=(-1,2,-1);
=(x,y,z)是平面的PBC法向量,
,
因此可取=(0,-1,-2);
是平面PBQ的法向量,則,
可取=(1,1,1),
所以cos<>=-,
故二面角角Q-BP-C的余弦值為-
點評:本題用向量法解決立體幾何的常見問題,面面垂直的判定與二面角的求法;注意建立坐標系要容易求出點的坐標,頂點一般選在有兩兩垂直的三條直線的交點處,這樣才有助于下一步的計算.
練習冊系列答案
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