Question

已知f(x)=lg

1-x

1+x

．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）若-

1

2

＜a＜

1

2

，試比較f（a）-f（-a）與f（2a）-f（-2a）的大小．

Answer 1

分析：（1）；令

1-x

1+x

＞0即可求得函數(shù)f（x）的定義域；
（2）利用奇函數(shù)的定義即可作出正確判斷；
（3）設(shè)1＞x₂＞x₁＞-1，通過作差可判斷

1-x2

1+x2

與

1-x1

1+x1

的大小，從而得f（x₂）與f（x₁）的大小，可得f（x）的單調(diào)性，由（2）函數(shù)f（x）的奇偶性，f（a）-f（-a）=2f（a），f（2a）-f（-2a）=2f（2a），按0＜a＜

1

2

時(shí)，a=0，-

1

2

＜a＜0三種情況討論，由單調(diào)性即可作出其大小比較；

解答：解：（1）由

1-x

1+x

＞0得-1＜x＜1，
所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+1）．
（2）f（x）為奇函數(shù)，證明如下：
因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)椋?1，1），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且f（-x）=lg

1+x

1-x

=-lg

1-x

1+x

=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)．
（3）設(shè)1＞x₂＞x₁＞-1，
則

1-x2

1+x2

-

1-x1

1+x1

=（-1+

2

1+x2

）-（-1+

2

1+x1

）
=2×

x1-x2

(1+x1)(1+x2)

＜0，
∴0＜

1-x2

1+x2

＜

1-x1

1+x1

，
∴l(xiāng)g

1-x2

1+x2

＜lg

1-x1

1+x1

，即f（x₂）＜f（x₁），
∴函數(shù)f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．
由（2）知函數(shù)f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)，
∴f（a）-f（-a）=2f（a），f（2a）-f（-2a）=2f（2a），
∴當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，2a＞a，則f（2a）＜f（a），
∴f（2a）-f（-2a）＜f（a）-f（-a）；
當(dāng)a=0時(shí)，f（2a）-f（-2a）=f（a）-f（-a）；
當(dāng)-

1

2

＜a＜0時(shí)，2a＜a，f（2a）＞f（a），所以f（2a）-f（-2a）＞f（a）-f（-a）．
綜上，當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，f（2a）-f（-2a）＜f（a）-f（-a）；當(dāng)a=0時(shí)，f（2a）-f（-2a）=f（a）-f（-a）；當(dāng)-

1

2

＜a＜0時(shí)，（2a）-f（-2a）＞f（a）-f（-a）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)定義域的求解、函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷及其應(yīng)用，考查分類討論思想，屬中檔題．