Question

13、將一個4×4棋盤中的8個小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有兩個黑色方格，則不同的染法種數有

90

．（用數字作答）

Answer 1

分析：第一行染2個黑格，第一行染好后，有三種情況：第二行染的黑格均與第一行的黑格同列；第二行染的黑格與第一行的黑格均不同列；第二行染的黑格恰有一個與第一行的黑格同列，第二行染的黑格恰有一個與第一行的黑格同列，寫出結果．

解答：解：由題意知本題是一個分類計數問題，
第一行染2個黑格有C₄²種染法．第一行染好后，有如下三種情況：
（1）第二行染的黑格均與第一行的黑格同列，這時其余行都只有一種染法；
（2）第二行染的黑格與第一行的黑格均不同列，這時第三行有C₄²種染法，
第四行的染法隨之確定；
（3）第二行染的黑格恰有一個與第一行的黑格同列，這樣的染法有4種，
而在第一、第二這兩行染好后，第三行染的黑格必然有1個與上面的黑格均不同列，
這時第三行的染法有2種，第四行的染法隨之確定．
∴共有染法為6×（1+6+4×2）=90種．
故答案為：90

點評：本題考查分類計數原理，解題時一定要分清做這件事需要分為幾類，每一類包含幾種方法，再根據分類原理得到結果．本題是一個典型的排列組合的實際應用．